Qué es el caos?

El futuro está escrito?

Es el determinismo la respuesta?

Las infinitas variables que nos rodean pueden definir nuestro futuro?

Mañana lloverá?

Estas pregustas nos acosan constantemente.. aunque quizás en otras formas.

Siguiendo la línea del ultimo post, voy a extraer del Wikipedia (cortar y pegar) la información que se necesite para entender un poco que es todo esto de la Teoría del Caos.

Bueno.. lo que sigue es sacado del articulo. Caos determinista


Caos determinista

El caos y los fractales son parte de un tema mayor, la dinámica, rama de la física que empezó a mediados de 1600 cuando Isaac Newton inventó las ecuaciones diferenciales, descubrió las leyes de movimiento y la gravitación general. Con estos elementos Newton resolvió problemas de dos cuerpos que interactúan por medio de la gravedad pero, lo que de verdad le llamaba la atención, era el movimiento de la Luna y su generalización conocida con el nombre de problema de los tres cuerpos. Las siguientes generaciones de matemáticos y físicos trataron problemas de tres cuerpos y notaron que resultaban mucho más difíciles que los problemas de dos cuerpos, hasta el punto de darlos como imposibles.

- Breve historia

El determinismo laplaciano

En 1776 el matemático francés Pierre Simon de Laplace comenzó a publicar 5 volúmenes de Traité du Mécanique Céleste, en el que afirmaba categórico que, si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podría predecir su pasado y futuro. Por más de 100 años su afirmación pareció correcta y, por ello, se llegó a la conclusión de que el libre albedrío no existía, ya que todo estaba determinado.

El determinismo laplaciano consistía en afirmar que, si se conocen las leyes que gobiernan los fenómenos estudiados, se conocen las condiciones iniciales y se es capaz de calcular la solución, entonces se puede predecir con total certeza el futuro del sistema estudiado.

El cuestionamiento de Poincaré

A finales del siglo XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemático francés, introdujo un nuevo punto de vista al preguntar si el Sistema Solar será estable para siempre. Él fue el primero en pensar en la posibilidad del caos, en el sentido de comportamiento que dependiera sensiblemente en las condiciones iniciales. En 1903 Poincaré postulaba acerca de lo aleatorio y del azar en los siguientes términos:

El azar no es más que la medida de la ignorancia del hombre

reconociendo, a la vez, la existencia de innumerables fenómenos que no eran completamente aleatorios, que simplemente no respondían a una dinámica lineal, aquellos a los que pequeños cambios en las condiciones iniciales conducían a enormes cambios en el resultado. De este modo se comenzó la búsqueda de las leyes que gobiernan los sistemas desconocidos, tales como el clima, la sangre cuando fluye a través del corazón, las turbulencias, las formaciones geológicas, los atascos de vehículos, las epidemias, la bolsa o la forma en que las flores florecen en un prado.

El aporte de Lorenz

El comienzo de la historia del caos según las teorías actuales se puede situar cuando se inventaron los ordenadores de alta velocidad (sobre 1950) y se desarrollaron algunas intuiciones sobre cómo eran los sistemas no lineales. Esto es, cuando se vieron las primeras gráficas sobre el comportamiento de estos sistemas mediante métodos numéricos. En 1963 Edward Lorenz trabajaba en unas ecuaciones, las ecuaciones mundialmente conocidas como ecuaciones de Lorenz, que esperaba predijeran el tiempo en la atmósfera, y trató mediante los ordenadores ver gráficamente el comportamiento de sus ecuaciones. Aunque se les llamaran ordenadores de alta velocidad, los ordenadores por aquella época eran muy lentos, por lo que Lorenz se fue a tomar un té mientras el ordenador hacía los cálculos, y cuando volvió se encontró con una figura que ahora se conoce como atractor de Lorenz.

Pensó que había cometido algún error al correr el programa y lo intentó repetidas veces, logrando siempre el mismo resultado, hasta que se dio cuenta de que algo pasaba con su sistema. Después de estudiarlo detenidamente y hacer pruebas con diferentes parámetros, tanto parámetros iniciales como las constantes del sistema, llegó a la conclusión de que las simulaciones eran muy diferentes para condiciones iniciales muy próximas. Al llegar a esta conclusión, recordó que en el programa, que él había creado para su sistema de meteorología con la computadora Royal McBee, se podían introducir un máximo de 3 decimales para las condiciones iniciales, aunque el programa trabajaba con 6 decimales y los 3 últimos decimales que faltaban se introducían aleatoriamente. Ésta es la razón por la que Lorenz no llegó a encontrar la solución de la meteorología pero encontró el caos, y seguramente se alegró mucho de que su sistema no funcionara.

La década de 1970 fue el boom del caos. En 1971 David Ruelle y Takias propusieron una nueva teoría para la turbulencia de fluidos basada en un atractor extraño. Años después May encontró ejemplos del caso en repetidos mapas del aumento de población, y a continuación vino el más sorprendente descubrimiento de todos de la mano de Feigenbaum. Él descubrió que hay un conjunto de leyes universales concretas que diferencian la transición entre el comportamiento regular y el caos. Por tanto es posible que dos sistemas evolucionen hacia un comportamiento caótico igual.

- La importancia de ser no lineal

Hay dos importantes tipos de sistemas dinámicos: las ecuaciones diferenciales y los mapas iterados. Las ecuaciones diferenciales describen la evolución de un sistema a tiempo real y los mapas iterados evolucionan en problemas donde el tiempo es discreto. Ambos son útiles para dar ejemplos del caos y también para analizar soluciones periódicas o caóticas de las ecuaciones diferenciales.

Se dice que un sistema es no lineal cuando la potencia de las variables de ese sistema es diferente a uno, hay productos entre diferentes variables o funciones de las variables (ej; , , cosx₂).

La mayoría de sistemas no lineales son imposibles de resolver analíticamente. En estos casos se puede lograr alguna solución haciendo una aproximación, pero se pierden soluciones físicas. La razón de que las ecuaciones lineales sean más fáciles de analizar es que los sistemas lineales se pueden separar en partes, resolver cada una de ellas y juntar las soluciones para obtener la solución final. El hecho es que muchas cosas en la naturaleza actúan de forma no lineal.

La importancia que tienen los sistemas en el caos es el siguiente. Se dice que un sistema dinámico es lineal cuando pequeños cambios en las condiciones iniciales del sistema no originan grandes cambios en el proceso y resultado final del mismo.

- Ecuaciones de Lorenz

Empezamos el estudio del caos con las ecuaciones de Lorenz


donde σ es el número de Prandtl (viscosidad/conductividad térmica), r es el número de Rayleigh (John Strutt) (diferencia de temperatura entre base y tope) y b es la razón entre la longitud y altura del sistema.

Lorenz observó dos cosas fundamentales que ocurrían en su ecuación:

1. Cualquier diferencia en las condiciones iniciales antes de los cálculos, incluso infinitesimal, cambiaba de forma dramática los resultados. Tan sólo se podía predecir el sistema por cortos periodos de tiempo. Llevando eso a la meteorología, suponía lo que se llamó efecto mariposa, hipersensibilidad a las condiciones iniciales.
2. A pesar de lo anterior, la impredecibilidad del sistema, lejos de ser un comportamiento al azar, tenía una curiosa tendencia a evolucionar dentro de una zona muy concreta del espacio de fases, situando una especie de pseudocentro de gravedad de los comportamientos posibles.

Las ecuaciones de Lorenz fueron propuestas como un modelo muy simplificado de la convección en forma de anillos que parece ocurrir a veces en la atmósfera terrestre. Por ello, las tres magnitudes a las que Lorenz se refiere en su sistema son,

* Razón de rotación del anillo.
* Gradiente de temperatura
* Desviación de la temperatura respecto a su valor de equilibrio.}

Lorenz descubrió que su sistema contenía una dinámica extremadamente errática. Las soluciones oscilaban irregularmente sin llegar a repetirse, aunque lo hacían en una región acotada del espacio de fases. Vio que las trayectorias rondaban siempre alrededor de lo que ahora se define como atractor extraño.

El sistema de Lorenz es disipativo.

- Divergencia exponencial de trayectorias cercanas

Los atractores exhiben una dependencia sensible a las condiciones iniciales. Esto significa que dos trayectorias que comienzan cerca una de la otra divergen, y cada una tendrá un futuro totalmente diferente de la otra. Haciendo estudios numéricos de los atractores extraños se puede encontrar la siguiente proporción,



donde δ(t) es el vector que separa 2 trayectorias, δ0 es la separación inicial y λ es el exponente Lyapunov. Cuando el sistema tiene un exponente de Lyapunov positivo (λ > 0), se encuentra un tiempo de horizonte donde la predicción deja de ser válida. Si se toma a como el valor máximo de la distancia aceptable entre dos trayectorias (la predicción será intolerable cuando , entonces el tiempo de horizonte se define como



Lo peor del tiempo de horizonte es que, por mucho que se minimice la separación inicial, no logrará ser mucho más grande. Esto es, aunque se logre una precisión muy buena, el incremento del tiempo de horizonte que se logra será insignificante comparado con la disminución de δ0. Por esto, Lorenz dijo que era tan difícil predecir el tiempo. Este obstáculo de la predicción se conoce con el nombre efecto mariposa por una charla de Lorenz con el título "¿Puede el batir de las alas de una mariposa en Brasil dar lugar a un tornado en Texas?".

La sensibilidad a las condiciones es tan extremadamente exagerada que, aparte del provocativo título de la charla de Lorenz, se encuentran otras frases como,

Por perder un clavo, el caballo perdió la herradura, el jinete perdió al caballo, el jinete no combatió, la batalla se perdió, y con ella perdimos el reino.

Si se dibuja una gráfica con los ejes ln | | δ | | y t, se observa que para un corto plazo de t, la función se mueve alrededor de una pendiente. El valor de esta pendiente equivale al exponente de Lyapunov. Como se observa en el ejemplo de abajo, después de un tiempo la función no continúa cerca de la pendiente. Esto es debido a que, como el atractor está acotado en un espacio del espacio de fases, la distancia no puede aumentar hasta el infinito.

- Definición de caos y atractores

No hay una definición universal sobre el caos, pero hay tres ingredientes en los que todos los científicos están de acuerdo:

1. Las trayectorias no se ajustan a un punto fijo, órbita periódica u órbita cuasiperiódica cuando t\rightarrow \infty.
2. El sistema no contiene parámetros al azar. El comportamiento irregular surge de la no linealidad. Por eso se define como determinista.
3. Las trayectorias que comienzan cerca, con el tiempo se separan exponencialmente.

Definir un atractor tampoco es fácil ya que todavía hay desacuerdos sobre la definición exacta. Un atractor es un conjunto en las que todas las trayectorias cercanas convergen. Los puntos fijos y círculos límite son un ejemplo de ello. Al igual que en la definición del caos, hay 3 ingredientes universales:

1. Cualquier trayectoria que esté en un atractor, estará en él para

2. Atraen un conjunto de condiciones iniciales. El conjunto lo componen las condiciones iniciales que su trayectoria que acabe en el atractor cuando
3. No existen condiciones iniciales que satisfagan las dos reglas anteriores.

Dentro de los atractores se define como atractor extraño o caótico cuando el atractor exhibe dependencia sensible con las condiciones iniciales.

- Atractores

Una manera de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento, es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama el tiempo es implícito y cada eje representa una dimensión del estado. Por ejemplo, un sistema en reposo será dibujado como un punto, y un sistema en movimiento periódico será dibujado como un círculo.

Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases no muestra una trayectoria bien definida, sino que ésta se encuentra errada alrededor de algún movimiento bien definido. Cuando esto sucede se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor.

De acuerdo a la forma en que sus trayectorias evolucionen, los atractores pueden ser clasificados como periódicos, cuasi-periódicos y extraños. Estos nombres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que provocan en los sistemas. Un atractor periódico, por ejemplo, puede guiar el movimiento de un péndulo en oscilaciones periódicas; sin embargo, el péndulo seguirá trayectorias erráticas alrededor de estas oscilaciones debidas a otros factores menores.

- Atractores extrañ

La mayoría de los tipos de movimientos mencionados en la teoría anterior sucede alrededor de atractores muy simples, tales como puntos y curvas circulares llamadas ciclos limitados. En cambio, el movimiento caótico está ligado a lo que se conoce como atractores extraños, atractores que pueden llegar a tener una enorme complejidad como, por ejemplo, el modelo tridimensional del sistema climático de Lorenz, que lleva al famoso atractor de Lorenz. El atractor de Lorenz es, quizá, uno de los diagramas de sistemas caóticos más conocidos, no sólo porque fue uno de los primeros, sino también porque es uno de los más complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muy peculiar más bien parecida a las alas de una mariposa.

Los atractores extraños están presentes tanto en los sistemas continuos dinámicos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo el mapa Hènon). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente de tipo Conjunto de Julia la cual se forma en el límite entre las cuencas de dos puntos de atracción fijos. Julia puede ser sin embargo un atractor extraño. Ambos, atractores extraños y atractores tipo Conjunto de Julia, tienen típicamente una estructura fractal.

El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólo puede presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en sistemas de dos o incluso una dimensión.

- Sistemas dinámicos y teoría del caos

Los Sistemas dinámicos y teoría del caos son una rama de las Matemáticas, desarrollada en la segunda mitad del Siglo XX, que estudia lo complicado, lo impredecible, lo que no es lineal. A veces se la llama "Matemática de lo no lineal".

Para los no iniciados en matemáticas, el nombre "Teoría del Caos" puede inducir a error por dos motivos:

1. No necesariamente es una teoría sino que puede entenderse como un gran campo de investigación abierto, que abarca diferentes líneas de pensamiento.
2. Caos está entendido no como ausencia de orden, sino como cierto tipo de orden de características impredecibles, pero descriptibles en forma concreta y precisa. Es decir: un tipo de orden de movimiento impredecible.

La idea de la que parte la Teoría del Caos es simple: en determinados sistemas naturales, pequeños cambios en las condiciones iniciales conducen a enormes discrepancias en los resultados. Este principio suele llamarse efecto mariposa debido a que, en meteorología, la naturaleza no lineal de la atmósfera ha hecho afirman que es posible que el aleteo de una mariposa en determinado lugar y momento, pueda ser la causa de un terrible huracán varios meses más tarde en la otra punta del globo.

Un ejemplo claro sobre el efecto mariposa es soltar una pelota justo sobre la arista del tejado de una casa varias veces; pequeñas desviaciones en la posición inicial pueden hacer que la pelota caiga por uno de los lados del tejado o por el otro, conduciendo a trayectorias de caída y posiciones de reposo final completamente diferentes. Cambios minúsculos que conducen a resultados totalmente divergentes.

En Teoría del Caos los sistemas dinámicos son estudiados a partir de su "Espacio de Fases", es decir, la representación coordenada de sus variables independientes. En estos sistemas caóticos, es fácil encontrar trayectorias de movimiento no periódico, pero cuasi-periódicas.

En este esquema se suele hablar del concepto de Atractores Extraños: trayectorias en el espacio de fases hacia las que tienden todas las trayectorias normales. En el caso de un péndulo oscilante, el atractor sería el punto de equilibrio central.

Los atractores extraños suelen tener formas geométricas caprichosas y, en muchos casos, parecidos o similitudes a diferentes escalas. En este caso, a estas formas que son iguales a sí mismas en diferentes escalas, se les ha dado en llamar fractales.

La llamada Teoría del Caos es un nuevo paradigma matemático, tan amplio y tan importante como pudo ser en su época la unión entre geometría y cálculo, surgida del pensamiento cartesiano aunque, quizás, por su inmadurez aún no se tenga claro todo lo que puede dar de sí esta nueva forma de pensamiento matemático, que abarca campos de aplicación tan dispares como la medicina, la geología o la economía.

La teoría no tiene un solo padre fundador, sino muchos. Entre ellos destacan Lorenz (meteorólogo), Benoit Mandelbrot (ingeniero de comunicaciones), Mitchell Feigenbaum (matemático), Libchaber (físico), Winfree (biólogo), Mandell (psiquiatra), y otros muchos, la mayoría de ellos vivos actualmente.

- Aplicaciones y atractores

La Teoría del Caos y la matemática caótica resultaron ser una herramienta con aplicaciones a muchos campos de la ciencia y la tecnología. Gracias a estas aplicaciones el nombre se torna paradójico, dado que muchas de las prácticas que se realizan con la matemática caótica tienen resultados concretos porque los sistemas que se estudian están basados estrictamente con leyes deterministas aplicadas a sistemas dinámicos. En Internet se desarrolla este concepto en "Teoría del Caos, el tercer paradigma" -debe buscarse usando comillas-, de como la estadística inferencial trabaja con modelos aleatorios para crear series caóticas predictoras para el estudio de eventos presumiblemente caóticos en las Ciencias Sociales. Por esta razón la Teoría del Caos ya no es en sí una teoría: tiene postulados, fórmulas y parámetros recientemente establecidos con aplicaciones, por ejemplo, en las áreas de la meteorología o la física cuántica.

- Teoría del caos, aplicación meteorológica

El clima, además de ser un sistema dinámico, es muy sensible a los cambios en las variables iniciales, es un sistema transitivo y también sus órbitas periódicas son densas, lo que hace del clima un sistema apropiado para trabajarlo con matemática caótica. La precisión de las predicciones meteorológicas es relativa, y los porcentajes anunciados tienen poco significado sin una descripción detallada de los criterios empleados para juzgar la exactitud de una predicción.

Al final del siglo XX se ha vuelto común atribuirles una precisión de entre 80 y 85% en plazos de un día. Los modelos numéricos estudiados en la teoría del caos han introducido considerables mejoras en la exactitud de las previsiones meteorológicas en comparación con las predicciones anteriores, realizadas por medio de métodos subjetivos, en especial para periodos superiores a un día. En estos días es posible demostrar la confiabilidad de las predicciones específicas para periodos de hasta cinco días gracias a la densidad entre las orbitas periódicas del sistema, y se han logrado algunos éxitos en la predicción de variaciones anormales de la temperatura y la pluviosidad para periodos de hasta 30 días. No es posible contradecir la confiabilidad de las previsiones para periodos de tiempo más largos debido a que no se han adoptado aún modelos de verificación; no obstante, los meteorólogos profesionales tienden a ponerla en duda.

- Algo más de atractores

Los atractores extraños son curvas del espacio de las fases que describen la trayectoria de un sistema en movimiento caótico. Un sistema de estas características es plenamente impredecible, saber la configuración del sistema en un momento dado no permite predecir con veracidad su configuración en un momento posterior. De todos modos, el movimiento no es completamente aleatorio.

En la mayoría de sistemas dinámicos se encuentran elementos que permiten un tipo de movimiento repetitivo y, a veces, geométricamente establecido. Los atractores son los encargados de que las variables que inician en un punto de partida mantengan una trayectoria establecida, y lo que no se puede establecer de una manera precisa son las oscilaciones que las variables puedan tener al recorrer las órbitas que puedan llegar a establecer los atractores. Por ejemplo, es posible ver y de cierta manera prever la trayectoria de un satélite alrededor de la Tierra; lo que aparece en este caso como algo indeterminado, son los movimientos e inconvenientes varios que se le pueden presentar al objeto para efectuar este recorrido.

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Bueno.. espero que te haya servido un poquito como para entender mejor el caos y como nos afectan las variables.

si te interesan estos tipos de post hacemelo saber.

Un saludo.
E.D